FOM: Leibniz and infinitesimal quantities

[Walter Felscher]

My remarks from Nov. 26th about Johannes Thomae have met a
few responses; in particular, Sr. Julio Cabillon kindly has
drawn our attention to the very informative article by
Gordon Fisher [Archive Hist.Exact Sciences 24 (1981) 101-163]
whose reading should make it clear that the discoverers of
non-Archimedian domains, a hundred years ago, not necessarily
aimed to study an analysis on the reals enriched by
infinitesimals in the sense of the 18th century. Also,
Fisher there elucidates the origin of the quotation of
Cantor mentioned by Mr.Tait.

Whoever writes at the preface, or a summarizing conclusion,
of an article will know the temptation to compare new
results with the historical development. Yet when we turn
to past centuries to see whether something new was
foreshadowed by something old, the light of our insight
often illuminates too weakly the notions from the past to
make them cast a sharp shadow. The vast domain of
historical texts, then, may become used as a quarry from
which to harvest isolated slabs that, when chiseled out by
our ancestors, will not always have had the purpose we wish
to put them to in our time.

The infinitesimals in the non-Archimedian domains of NSA
are occasionally said to recapture, and to rectify, the use
of infinitesimals by the inventors of the Calculus
(actually, we should speak of Calculi) in the 17th and 18th
century.  It is to recommend caution in the use of such
figures of speech that I dare to burden the readers of this
list with the following text of a purely historical character.

W.F.


[The following text contains quotations in French. As many
 e-mail programs cannot convey the accented characters, the
 character e accented with

        aigu,       ‚ , has been replaced by  e/
        grave,      Š , has been replaced by  e\
        circonflex, ˆ , has been replaced by  e/\

 and analogously for other characters. Cedilles have been
 omitted throughout. Readers able to receive accented
 characters may obtain an accented text directly from the
 author.]


Leibniz and infinitesimal quantitites.


Before talking about Leibniz, it appears unavoidable to
mention Blaise Pascal's

   De l'esprit ge/ome/trique. Paris 1658

(reprinted e.g. in the Pleiade edition of Pascal's writings).
Pascal begins with the usual, finite quantities which are
subdivisible arbitrarily often, are not composed from
smallest ones, and which form a domain of quantities of the
same species (genre) in the sense of Euclid :

  il de/finit ainsi les grandeurs homoge\nes: Les grandeurs,
  dit-il, sont dites e/\tre de me/\me genre, losque l'une e/tant
  plusiers fois multiplie/e peut arriver a\ surpasser
  l'autre. (R 447-479)

But now, apart from them, Pascal considers the domain of
indivisibles, which also can be multiplied and composed, but
are of a species different from that of the finite quantities:

  Un indivisible est ce qui n'a aucunes parties, et
  l'e/tendue est ce qui a diverses parties se/pare/es.

  Sur ces de/finitions, je dis que deux indivisibles e/tant
  unis ne font pas une e/tendue.

  Car, quand ils sont unis, ils se touchent chacun en une
  partie; et partant les parties par o— ils se touchent ne
  sont pas se/pare/es, puisque autrement elles ne se toucheraint
  pas. Or, par leur de/finition, ils n'ont point d'autres
  parties, donc ils n'ont pas de parties, donc ils ne sont
  pas une e/tendue, par la de/finition de l'e/tendue qui
  porte la se/paration des parties.

  On montrera la me/\me chose de tous les autres indivisibles
  qu'on y joindra, par la me/\me raison. Et partant un
  indivisible, multiplie/ autant qu'on voudra, ne fera jamais
  une e/tendue. Donc il n'est pas de me/\me genre que l'e/tendue,
  par la de/finition des choses du me/\me genre.

  Voila\ comment on de/montre que les indivisibles ne sont pas
  de me/\me genre que les nombres. ...     (R 528-530)

Clearly, in today's words we can say that Pascal conceives
the indivisibles to form a class of Archimedicity below that
of the usual quantities (which, at the end, he simply calls
numbers, adopting the identification of quantities and
numbers stated already by Stevin).

It might also be mentioned that Pascal then continues to
expand the notion of quantities into the other direction,
setting up a correspondence between the infinitely small and
the infinitely large, based on the formal analogy between
unlimited subdivisibility and unlimited multiplication and
supported by examples from cinematics and optics. It may not
have helped the mathematical understanding that Pascal
later, on pages R 563-572 (and also in his Pense/es , # 72
and # 793) used this idea of different classes of Archimedicity
for an illustration of familiar religious conceptions.

Turning now to Leibniz, we know that he learned to topic
first from reading Pascal. But he even introduced 'higher
differential' (which then could be neglected when compared
with upper ones) and so he actually worked with infinitesimals
of different species:

  Dantur et quantitates inassignabiles <non-finite quantitites>,
  eaeque vel infinite parvae seu infinitesimae, eaeque rursum
  varii gradus. Quae etsi per se non prosint, prosunt tamen
  non raro ad quantitates assignabiles per inassignabilium
  ambares inveniendas; et omnino in omni transcendentia
  intervenit aliqua consideratio infiniti aut infinitesimi.

  [Gesammelte Werke, ed. G.H.Pertz und C.I.Gerhardt. Abt.III:
   Die mathematischen Schriften.  Band 7 , Halle 1863 , p.68 ]

But - and this is the point I want to make here - Leibniz
consciously does not bind himself to a fixed, unique
definition as known in geometry (mathematics). To show this,
I have to quote in some more detail his letter to Varignon
from February 2nd, 1702 , famous among mathematicians now
through the (unfortunately incomplete and easily misleading)
quotation made in the introduction of Professor Robinson's
book :

  C'est pourquoy a\ fin d'eviter ces subtilite/s, j'ai cru que
  pour rendre le raisonnement sensible a\ tot le monde, il
  suffisait d'expliquer icy l'infini par l'incomparable, c'est
  a\ dire de concevoir des quantite/s incomparablement plus
  grandes ou plus petites que les nostres; ce qui fournit
  autant qu'on veut de degre/s d'incomparables, puisque ce qui
  est incomparablement plus petit, entre inutilement en ligne
  de compte a\ l'egard de celuy qui est incomparablement plus
  grand que luy, c'est ainsi qu'une parcelle de la matiere
  magnetique qui passe a\ travers du verre n'est pas comparable
  avec un grain de sable, ny ce grain avec la globe de la
  terre, ny ce globe avec le firmament.  ...

  Mais il faut considerer en me/\me temps, que ces incomparables
  communs me/\mes n'estant nullement fixes ou determine/s, et
  pouvant estre pris aussi petits qu'on veut dans nos
  raisonnements Geometriques, font l'effect des infiniment
  petits rigoureux, puis qu'un adversaire voulant contredire a\
  nostre enontiation, il s'ensuit par nostre calcul que
  l'erreur sera moindre qu'aucune erreur qu'il pourra assigner,
  estant en nostre pouvoir de prendre cet incomparablement
  petit, assez petit pour cela, d'autant qu'on peut tousjours
  prendre un grandeur aussi petite qu'on veut.  C'est
  peut-estre ce que vous entende/s, Monsieur, en parlant de
  l'ine/puisable, et c'est sans doute en cela que consiste la
  demonstration rigoureuse du calcul infinitesiaml dont nous
  servons, et qui a cela de commode, qu'il donne directement et
  visiblement, et d'une maniere propre a\ marquer la source de
  l'invention, ce que les anciens, comme Archimede, donnoient
  par cicuit dans leurs reductions ad absurdum, ne pouvant pas
  faute d'un tel calcul, parvenir a\ des verite/s ou solutions
  embarasse/es, quoyqu'ils possedassant le fondement
  del'invention.  D'o— il s'ensuit, que si quelcun n'admet
  point des lignes infinies et infiniment petites a\ la rigueur
  metaphysique et comme des choses reelles, il peut s'en servir
  seurement comme des notions ideales qui abregent le
  raisonnement, semblables a\ ce qu'on appelle racines
  imaginaires dans l'analyse commune (comme par exemple
  [sqrt]-2), lesquelles toutes imaginaires qu'on les appelle,
  ne laissant pas d'estre utiles, et me/\me necessaires a\
  exprimer analytiquement des grandeurs reelles; ...  . C'est
  encore de la me/\me facon qu'on concoit des dimensions au dela\
  de trois, et me/\me des puissances dont les exposans ne sont
  pas des nombres ordinaires, le tout pour e/tablir des ide/es
  propres a\ abreger les raisonnemens et fonde/es en realite/s.

  Cependent il ne faut point s'imaginer que la science de
  l'infini est degrade/e par cette explication et reduite a\ des
  fictions; car il reste tousjours un infini
  syncategorimatique, comme parle l'ecole, et il demeure vray
  par exemple que 2 est autant que 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
  + 1/32 etc.  ce qui est une serie infinie, dans laquelle
  toutes les fractions dont les numerasteur sont 1 et les
  denominateurs de progression Geometrique double, sont
  comprises a\ la fois, quoyqu'on n'y employe tousjours que des
  nombres ordinaires et quoy'qu on n'y fasse point entrer
  aucune fraction infiniment petite, ou dont le denominateur
  soit un nombre infini.  Des plus comme les racines
  imaginaires ont leur fundamentum in re, ...  ; on peut dire
  de me/\me, que les infinis et infiniment petits sont tellement
  fonde/s que tout se fait dans la Geometrie, et me/\me dans la
  nature, comme si c'estoient des parfaites realite/s, temoins
  non seulement nostre Analyse Geometrique des Transcendentes,
  mais encor ma loi de la continuite/, en vertu de laquelle il
  est permis de considerer le repos comme un mouvement
  infiniment petit (c'est a\ dire comme equivalent a\ une espece
  de son contradictoire), et la coincidence comme une distance
  infiniment petite, et l'egalite/ comme la derniere des
  inegalite/s etc.  ...  Cependant on peut dire en general que
  doute la continuite/ est une chose ideale et qu'il n'y a
  jamais rien dans la nature, qui ait des parties parfaitement
  uniformes, mais en recompense le reel ne laisse pas de se
  gouverner parfaitement par l'ideal et l'abstrai/\t, et il se
  trouve que les regles du fini reussissent dans l'infini,
  comme s'il y avait des atomes (c'est a\ dire des elemens
  assignables de la nature), quoyqu'il n'y en ait point la
  matiere estant actuellement sousdivise/e sns fin; et que vice
  versa les regles de l'infini reussissent dans le fini, comme
  s'il avoit des infiniment petits metaphysiques, quoyqu'on
  n'en ait point besoin; et que la division de la matiere ne
  parvienne jamais a\ les parcelles infiniment petites:  c'est
  par ce que tout se gouverne par raison, et qu'autrement il
  n'y auroit point de science n'y regle, ce qui ne seroit
  point conforme avec la nature du souverain principe.

[Gesammelte Werke, ed.  G.H.Pertz und C.I.Gerhardt. Abt.III:
 Die mathematischen Schriften.  Band 4 , Halle 1859 p.91-94 .
 The French spelling is that of the original (hopefully without
 misstypings). ]

Here we see that in the first paragraph Leibniz explains his
use of infinitesimals as that of incomparables in the sense
of Pascal; in the second paragraph he explains that their
employment can be avoided since, working with arbitrarily
small finite quantities, also the resulting errors can be
made arbitrarily small; in the third paragraph, he rises the
possibility to view infinitesimals as formally introduced
ideal objects, comparable to the imaginary numbers in
algebra. But Leibniz leaves it to his reader to choose which
of the three possible positions to take.

The third and second position Leibniz also discusses in his
letter to Bosses from March 11th, 1706, following the remark
"Solum absolutum, et indivisibile infinitum, veram unitatem
habet, nempe Deus" :

  Ego philosophice loquendo non magis statuo magnitudines
  infinite parvas quam infinite magnas, seu non magis
  infinitesimas quam infinituplas.  Utrasque enim per modum
  loquendi compendiosum pro mentis fictionibus hebeo, ad
  calculum aptis, quales etiam sunt radices imaginariae in
  Algebra.  Interim demonstravi, magnum has expressiones usum
  habere ad compendium cogitandi adeoque ad inventionem; et in
  errorem ducere non posse, cum pro infinite parvo substituere
  sufficiat tam parvum quam quis volet, ut error sit minor
  dato, unde consequitur errorem dari non posse.

  [Opera philosophica, ed. J.E.Erdmann, Berlin 1840   p.436 ]

and similarly in a letter to Grandi from September 6th, 1713 :

  Caeterum mea sententia est, saepius exposita, infinite parvas
  pariter atque infinita quantitates esse fictiones quidem, sed
  utiles ad ratiocinandum compendiose simul ac tuto.  Et
  sufficere ut capiantur vere tam parvae quam opus est, ut
  error sit minor dato; unde ostenditur, nullus.  Eius
  sententiae indubitata argumenta habeo, sed quae exponere nunc
  quidem prolixius foret.  Interea infinite parva concipimus
  non ut nihila simpliciter et absolute, sed ut nihila
  respectiva (ut ipse bene notas), id est ut evanescentia
  quidem in nihilum, retinentia tamen characterem ejus quod
  evanescit.  Talia ducta in quantitatem infinitam etiam
  modificatam concipimus producere quantitatem ordinariam.  Nec
  ineleganter hinc a Te illustratur Creationis negotium, ubi
  via infinita absoluta ex nihilo absoluto aliquid facit.
  Certe in nostra Analysi concipimus rectam infinitam
  modificatam, ut aa:dx , ductam in dx rectam in nihilum
  abeuntem vel quod idem est in statum annihilationis rectae x
  continue decrescentis producere rectangulum ordinarium aa .
  Equidem infinitae numero (id est quovis numero plures)
  magnitudines nunquam componunt unum totum infinitum, et
  infinitudo vera non cadit nisi in infinitum virtutis, omni
  parte carens; et ideo nec aeternitas nec recta infinita etsi
  uno nomine expressa est unum totum, et quantitates illae
  calculi nostri extraordinariae sunt fictiones, non ideo tamen
  spernendae sunt, aut rejicienda cum illis analogia, quam
  verae religioni ...  esse posse non omnino negem; cum in
  calculo perinde sit ac si essent verae quantitates,
  habeantque fundamentum in re et veritatem quandem idealem ut
  radices imaginariae, ...

  [Gesammelte Werke, ed.  G.H.Pertz und C.I.Gerhardt.  Abt.III:
   Die mathematischen Schriften.  Band 4 , Halle 1859  p.128 ]

Looking at the progress of years in the dates of the
letters (1702 , 1706, 1713), one may be tempted to argue
that over the years Leibniz' attitude progressed in favour
of the third position, but at this point I am not certain
whether the present evidence of three letters suffices to
justify such conclusion.

As for his "law of continuity", to which Leibniz repeatedly
refers, its first formulation appears as 'principe de
l'ordre ge/ne/ral' in letter to Bayle already from 1687 :

  Il a son origine de l'infini, il est absolu ne/cessaire dans
  la Ge/ometrie, mais il reussit encore dans la Physique, par ce
  qu la souveraine sagesse , qui est la source de toutes
  choses, agit en parfait Geome\tre, et suivant une harmonie a\
  laquelle rien ne se peut ajouter.  C'est pourqui ce principe
  sert souvent de preuve ou examen pour faire voir d'abord et
  par dehors, le de/faut d'une opinion mal concerte/e avant me/\me
  que de venir a\ une discussion interieure.  On le peut e/noncer
  ainsi:  lorsque la diffe/rence de deux cas peut e/\tre diminue/e
  au dessous de toute grandeut donne/e in datis ou dans ce qui
  est pose/, il faut qu'elle se puisse trouver aussi diminue/e au
  dessous de toute grandeur donne/ in quaesitis ou dans ce qui
  en re/sulte.  Ou pour porter plus familie\rement:  lorsque les
  cas (ou ce qui est donne/) s'approchent continuellement et se
  perdent enfin l'un dans l'autre, il faut que les suites ou
  e/venemens (ou ce qui est demande/) le fassent aussi.  Ce qui
  de/pend encore d'un principe plus ge/ne/ral, savoir:  datis
  ordinatis etiam quaesita sunt ordinata.  Mais pour l'entendre
  il faut des exemples.

  L'on sait que le cas ou la supposition d'une ellipse se peut
  approcher du cas d'une parabole, autant qu'on veut, ...

  [Opera philosophica, ed. J.E.Erdmann, Berlin 1840 p.105-106 .
   The same text occurs, partly verbally, in an undated latin
   manuscript in Gesammelte Werke, ed. G.H.Pertz und C.I.Gerhardt.
   Abt.III: Die mathematischen Schriften. Band 6 , Halle 1860  p.129 ]

yBut then Leibniz' exposition here remains of a narrative,
speculative form; no attempt is made at a conceptual
definition, nor is an explicit computational example (as
provided by Cauchy 1821) is given.  In so far, it can be
said that Leibniz did not untertake the effort of an
analysis such as that attempted by Newton when he discussed
the limiting process from the ratio prima to the ratio
ultima [Philosophiae naturalis principia mathematica, London
1687/1713, Liber prim., sect.I, Scholium, p.32-34 of the
1713 edition].

(finis)